[གནད་བཏུས] དཔྱད་རྩོམ་འདིར། ཆོས་རྩིག་དཔེར་བཀོད་དེ་གྲངས་ཕྲེང་གི་གོ་དོན་དང་དབྱེ་བ། གྲངས་ཕྲེང་བྱུང་འཕེལ་གྱི་ལོ་རྒྱུས། དེ་ལ་ཞིབ་འཇུག་གི་རིན་ཐང་དང་གནས་བབ། སློབ་སྦྱོང་གི་གལ་འགངས་ཆེ་བའི་སྐོར་བརྗོད་པའི་མུར། རང་རེ་བོད་ལའང་ལྷ་ཁང་གི་རྩིག་བཟོ་དང་། ལྡེབས་རིས་སོགས་སུ་མངོན་པའི་གྲངས་རིག་གི་རིག་པ་ཧ་ཅང་མང་བ་དེ་དག་སྣང་མེད་རྒྱ་ཡན་དུ་མི་གཏོང་བར། ད་ལྟའི་གྲངས་རིག་བསླབ་གཞིར་བསྣན་ནས་བཀོལ་སྤྱོད་དང་རྒྱུན་འཛིན་བྱས་ན་དགོས་ཕན་ཆེ་ཚུལ་སྐོར་གླེང་ཡོད།

[གནད་ཚིག] སྲོལ་རྒྱུན་རིག་གནས། གྲངས་རིག་རིག་གནས། ཆོས་རྩིག གྲངས་ཕྲེང་།

“གྲངས་ཕྲེང་ནི། རང་བྱུང་ཆོས་ཉིད་མངོན་པའི་གྲངས་རིག་པའི་རྣམ་པ་ཅན་གྱི་རིགས་ཤིག་ཡིན་ཏེ། གོ་རིམ་ངེས་ཅན་ལྟར་སྟར་སྒྲིག་བྱས་པའི་གྲངས་སྟར་ལ་ཟེར།”① དེང་གི་ཆར་རྒྱལ་ཁབ་ཕྱི་ནང་གང་ནའང་གྲངས་ཕྲེང་སློབ་ཁྲིད་ཁྲོད་དུ་གྲངས་རིག་ལོ་རྒྱུས་ཀྱི་ནང་དོན་དང་། དངོས་ཡོད་འཚོ་བའི་བར་གྱི་འབྲེལ་པ་ལ་དོ་སྣང་ཆེན་པོ་བྱེད་བཞིན་ཡོད་ལ། རྒྱལ་ནང་གི་གྲངས་རིག་མཁས་དབང་མང་པོས་ཀྱང་ཕྱོགས་བསྡུས་སློབ་ཁྲིད་བྱེད་ཐབས་དང་། གྲངས་ཕྲེང་དང་། མུ་མཐའི་གྲངས་ཕྲེང་གི་སློབ་ཁྲིད་གོ་རིམ་ཁྲོད་དུ། གྲངས་རིག་ལོ་རྒྱུས་ཀྱི་ཕན་པའི་ཆ་དང་གལ་ཆེན་རང་བཞིན་མང་དུ་གསུངས་ཡོད་པ་རེད། ཡིན་ནའང་། རང་རེ་བོད་ཀྱི་སྲོལ་རྒྱུན་རིག་གནས་ཁྲོད་དུ་གྲངས་ཕྲེང་ཐད་ལ་ཞིབ་འཇུག་གི་དཔྱད་འབྲས་དང་། དེང་རབས་དང་མཐུན་པའི་གྲངས་ཕྲེང་གི་གཞུང་ལུགས་དང་ལག་ལེན་སོགས་ཧ་ཅང་ཉུང་བའི་ཁར། བོད་རྒྱ་སྐད་གཉིས་སློབ་ཁྲིད་ཁྲོད་དང་། དངོས་ཡོད་འཚོ་བའི་ཁྲོད་དུ་གྲངས་ཕྲེང་ལྟ་བུའི་རིག་པ་འདི་དག་སྣང་མེད་རྒྱ་ཡན་དུ་གཏོང་བཞིན་ཡོད་པའི་དབང་གིས། རང་རེ་བོད་ཀྱི་གྲངས་ཕྲེང་སློབ་ཁྲིད་ཀྱི་གནས་བབ་ནི་བྱ་དཀའ་བྱེད་གཏད་དུ་གྱུར་ཏེ། སློབ་མས་གྲངས་ཕྲེང་གི་ལེའུར་སློབ་སྦྱོང་བྱེད་པའི་སྐབས་སུ་དཀའ་ངལ་མང་པོར་ཕྲད་དང་འཕྲད་མུས་སུ་ཡོད་པ་རེད། དེང་སང་གི་གྲངས་རིག་བསླབ་གཞི་མི་ཉུང་བ་བོད་ཀྱི་དངོས་ཡོད་འཚོ་བ་དང་། རིག་གནས་རྒྱབ་ལྗོངས་ལས་རིང་དུ་གྱེས་ཡོད་ཕྱིར། སློབ་མས་གྲངས་རིག་གི་ནང་དོན་གོ་དཀའ་ཞིང་། གྲངས་རིག་སློབ་སྦྱོང་ལ་སྤྲོ་བ་མེད་པའི་གནད་དོན་འབྱུང་བཞིན་ཡོད། གལ་ཏེ་ང་ཚོས་ཀྱང་རང་གི་སྲོལ་རྒྱུན་རིག་གནས་ལས། གྲངས་རིག་བསམ་བློར་འབྲེལ་པ་ཡོད་པའི་ཐད་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་ན་དགེ་མཚན་ཤིན་ཏུ་ཆེ་སྟེ། ཕྱོགས་གཅིག་ནས་བོད་རྒྱ་སྐད་གཉིས་ཀྱི་སྟེང་ནས་རྩིས་དངོས་རྫས་གསུམ་སོགས་སྦྱོང་བཞིན་པའི་སློབ་མར་གྲངས་རིག་གི་གོ་དོན་རྟོགས་པ་ལ་རམ་འདེགས་ཐུབ་པ་སྟེ། དཔེར་ན། བོད་ཀྱི་སྲོལ་རྒྱུན་རིག་གནས་ཁྲོད་ཀྱི་གྲངས་ཕྲེང་གིས་བོད་རིགས་སློབ་མར་གྲངས་ཕྲེང་ནི་འཚོ་བ་ལས་བྱུང་བར་མ་ཟད་། འཚོ་བ་དང་དམ་དུ་འབྲེལ་ཡོད་པ་དང་། ནང་དོན་ཕུན་སུམ་ཚོགས་པ་ཞིག་ཡིན་པའི་ངེས་ཤེས་བསྐྱེད་ཐུབ་པ་ལྟ་བུའོ། །

ཕྱོགས་གཞན་ཞིག་ནས་བཤད་ན། མི་རྣམས་ཀྱིས་བོད་ཀྱི་སྲོལ་རྒྱུན་རིག་གནས་ཁྲོད་ཀྱི་གྲངས་ཕྲེང་ལྟ་བུས་གྲངས་རིག་གི་གནད་དོན་ལ་དབྱེ་ཞིབ་དང་། འཚོལ་ཞིབ་བྱེད་ཐབས་གསལ་པོར་བཏོན་ཡོད་པ་རྟོགས་ཐུབ་པ་དང་། ད་དུང་གྲངས་ཕྲེང་ལྟ་བུ་གྲངས་རིག་པའི་སློབ་ཁྲིད་ལ་འབྲེལ་པ་ཡོད་པའི་རིག་པ་གཞན་རྣམས་ཀྱང་བཀོལ་སྤྱོད་ཐུབ་རྒྱུ་ན། བོད་རིགས་དགེ་སློབ་རྣམས་ཀྱིས་ལག་ལེན་དངོས་ཀྱི་བརྒྱུད་རིམ་ཁྲོད་དུ། གྲངས་ཕྲེང་ལྟ་བུའི་རིག་པ་འདི་དག་གིས་རྙོག་འཛིང་གི་གནད་དོན་མི་ཉུང་བ་སྟབས་བདེར་བསྒྱུར་ཡོད་པ་ཤེས་ཐུབ་པ་

དང་། དེ་ཤེས་ན་སློབ་མ་རྣམས་གྲངས་རིག་པའི་སློབ་སྦྱོང་ལ་སྤྲོ་བ་ལྡན་པར་འགྱུར་ཞིང་། དེ་ལྟར་གྱུར་ན། སློབ་མའི་གྲངས་རིག་གི་ཤེས་རྟོགས་ནུས་ཚད་དང་། གནད་དོན་ལ་ངོས་འཛིན་དང་། དབྱེ་ཞིབ། ཐག་གཅོད་བྱེད་པའི་ནུས་པ་སོགས་རང་རྐྱ་འཕེལ་བར་འགྱུར་བ་ལ་གདོན་མི་ཟའོ། ། དེ་བས་ན། བོད་ཀྱི་སྲོལ་རྒྱུན་རིག་གནས་ཁྲོད་ཀྱི་གྲངས་རིག་སློབ་ཁྲིད་དང་འབྲེལ་པ་ཡོད་པའི་ཤེས་བྱ་རྣམས་བསླབ་གཞིར་བཀོད་དེ་སློབ་སྦྱོང་བྱེད་དུ་བཅུག་ན། སློབ་མ་རྣམས་ཀྱི་རྒྱུད་ལ་རང་གི་རིག་གནས་ཀྱི་བག་ཆགས་ཟབ་མོ་ཞིག་འཇོག་ཐུབ་པ་དང་། ཁོ་ཚོས་གྲངས་རིག་གི་སློབ་ཁྲིད་ཁྲོད་དུ་བཀོལ་སྤྱོད་ཀྱི་རིན་ཐང་ལྡན་པའི་ཤེས་བྱ་འདི་རྣམས་དེ་མ་ཐག་ཏུ་དང་ལེན་བྱས་ཏེ་རྟོགས་པར་འགྱུར་རོ། ། རྩོམ་ཡིག་འདིར་བོད་ཀྱི་སྲོལ་རྒྱུན་རིག་གནས་ཁྲོད་ཀྱི་གྲངས་ཕྲེང་གི་སྐོར་འཚོལ་བསྡུ་དང་། གྲངས་ཕྲེང་ཤེས་བྱ་ཡིས་བོད་ཀྱི་ཉིན་རྒྱུན་འཚོ་བའི་ཁྲོད་ཐེབས་པའི་བྱེད་ནུས་སྐོར་རགས་ཙམ་གླེང་ཡོད།

དང་པོ། གྲངས་ཕྲེང་གི་བྱུང་འཕེལ།

གཅིག གྲངས་ཕྲེང་གི་བྱུང་བ།

གྲངས་ཕྲེང་གི་འབྱུང་ཁུངས་ཀྱི་གནད་དོན་སྐོར་ལ་ངག་རྒྱུན་ལྟར་ན།“གནའ་བོའི་ཀེ་རི་སུའི་པེ་ཏ་ཀི་ལ་སུ(毕达哥拉斯) གྲུབ་མཐའི་མཁས་དབང་དག་གིས། ནམ་རྒྱུན་བྱེ་ཐང་དུ་གྲངས་རིག་གི་གནད་དོན་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་པ་ཡིན། ཁོ་ཚོས་བྱེ་ཐང་དུ་ཚེག་འབྲི་བའམ་ཡང་ན་རྡེའུ་ཆུང་ཆུང་སྤྱད་ནས་གྲངས་ཀ་མཚོན་པ་རེད།”②དཔེར་ན། ཁོ་ཚོས1,3,6,15,21,28,36,45,55,66,78,91...ལྟ་བུར་ཞིབ་འཇུག་བྱས་མྱོང་བས། གྲངས་འདི་དག་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དེ་ཚེག་གྲམ་ལྟར་མཚོན་ཆོག་པས། ཁོ་ཚོས་དེའི་མིང་ལ་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་གྲངས་ཞེས་ཟེར། དེ་བཞིན་དུ1,4,9,16,36,49,64,81,100,121...ལ་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་དབྱིབས་གྲངས་ཟེར། རྒྱུ་མཚན་ནི་གྲངས་འདི་དག་གིས་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་གི་དབྱིབས་མཚོན་ཐུབ་པས་རེད། དབྱིབས་དཔེ་འདི་ལྟ་བུས་ཟུར་གསུམ་དབྱིབས་དང་གྲུ་བཞི་ཁ་གང་དབྱིབས་འགྲུབ་ཐུབ་ཕྱིར། གོ་རིམ་ངེས་ཅན་ཞིག་གཞིར་བཟུང་ནས་བསྒྲིགས་པའི་གྲངས་ཀ་ཕྲེང་བ་གཅིག་ལ་གྲངས་ཕྲེང་ཟེར་ཞེས་བཤད་ཆོག གཞན་ཡང་། ལིའེ་ཨའོ་ན་ཏུའོ•ཧྥེ་པོ་ན་ཆི(列奥纳多•斐波那契Leonardo Fibonacciཕལ་ཆེར1175ནས1250ལོའི་བར་གྱི་མི་ཡིན)ནི། དབྱི་ཐ་ལའི་གྲངས་རིག་མཁས་དབང་ཞིག་ཡིན་པར་མ་ཟད། སྐབས་དེའི་ཡོ་རོབ་གླིང་གི་གྲངས་རིག་མཁས་པའི་མཚོན་བྱེད་མི་སྣ་ཡིན་ལ། རྒྱ་གར་དང་ཨ་རབ་ཀྱི་གྲངས་རིག་གཞུང་ལུགས་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་མཁན་གྱི་ཡོ་རོབ་གླིང་གི་ཆེས་ཐོག་མའི་མི་སྣའང་ཡིན། ཕལ་ཆེར་སྤྱི་ལོ1200ལོའི་ཡས་མས་སུ། ཧྥེ་པོ་ན་ཆི་ཁོ་རང་ལོ་ངོ་མང་པོར་རྒྱལ་ཁབ་སོ་སོར་སློབ་སྦྱོང་ངམ་བཅར་འདྲིར་ཕེབས་པའི་བརྒྱུད་རིམ་ཁྲོད་ཀྱི་མཐོང་ཐོས་དང་།སློབ་སྦྱོང་བྱས་པའི་གྲངས་རིག་ཤེས་བྱ་རྣམས་བརྒྱུད་རིམ་ལྡན་པའི་ངང་ནས་དག་སྒྲིག་བྱས་ཏེ་དེབ་ཏུ་བཟོས་པ་རེད། ཁོང་གིས་ཕྱོགས་བསྒྲིགས་གནང་བའི་གསུང་རྩོམ་པོད་ལྔ་ལྷག་བཞུགས་པ་ལས། ཆེས་གལ་ཆེ་བ་ནི《རྩིས་གཞུང་གི་དེབ》དེ་ཉིད་ཡིན། དེབ་འདི་སྤྱི་ལོ1202ལོར་ལེགས་པར་གྲུབ་པ་དང་། ཕྱིས་སུ་སྤྱི་ལོ1282ལོར་ཡང་བསྐྱར་དག་བཅོས་མཛད་པར་གྲགས། རྩིས་གཞུང་གི་དེབ་དེ་ནི་རོ་མའི་རྩིས་གཞུང་དང་བྱེ་མའི་རྩིས་གཞུང་ཁོ་ནར་གོ་བ་མ་ཡིན་པར། སྤྱིར་བཏང་གི་རྩིས་རྒྱག་ཚུལ་ཐམས་ཅད་ལ་གོའོ། ། རྩིས་གཞུང་དེར་ཀྲུང་གོའི་སུན་ཙི་རྩིས་གཞུང་ཁྲོད་ཀྱི་ངེས་མེད་མཉམ་བྱའི་འགྲོལ་ཐབས་ཀྱང་བཀོད་ཡོད། 105ལས་ཆུང་བའི་གྲངས་ཀ་དེ3,5,7གྱིས་བགོས་ཚེ། ལྷག་གྲངས 2,3,4 ཐོབ་པ་དང། གྲངས་འདི་དག་ཇི་ལྟར་བརྩི་དགོས་ཞེས་པའི་འདྲི་གཞི་དེ་ལས། ཧྥེ་པོ་ན་ཆིའི་གྲངས་ཕྲེང་བྱུང་བ་ཡིན།

གཉིས། གྲངས་ཕྲེང་གི་འཕེལ་རིམ།

མིང་དུ་གྲགས་པའི་རི་བོང་གི་གནད་དོན། ལོ་གཅིག་གི་ནང་དུ་རི་བོང་ཆ་གཅིག་གིས་རི་བོང་ཆ་ག་ཚོད་འཕེལ་ཐུབ་པའི་སྐོར་ལ། ཧྥེ་པོ་ན་ཆིའི་རྩིས་གཞུང་ལས་འདི་ལྟར་གསུངས་ཡོད་དེ།“མི་ག་གེ་མོ་ཞིག་ལ་རི་བོང་ཆ་གཅིག་ཡོད་པ་ས་གནས་ག་གེ་མོ་ཞིག་གི་ཕྱི་བཀག་ནང་སྡོམ་གྱི་ར་སྐོར་ནང་ནས་གསོ་སྐྱོང་བྱས། ཁོ་ཚོས་ལོ་གཅིག་གི་ནང་དུ་རི་བོང་ཆ་ག་ཚོད་རྒྱུད་སྤེལ་ཐུབ་པ་ཤེས་པར་འདོད་པས། རི་བོང་ཆ་རེས་ཟླ་རེར་རི་བོང་ཆུང་ཆུང་ཆ་རེར་རྒྱུད་སྤེལ་བྱེད་ཐུབ་པ་དང་། རི་བོང་ཆུང་ཆུང་རྒྱུད་སྤེལ་བྱས་པའི་རྗེས་སུ། རི་བོང་ཆུང་ཆུང་གཉིས་ཀྱིས་ཟླ་རྗེས་མ་ནས་རྒྱུད་སྤེལ་བྱེད་ཐུབ་པས། ཐེངས་དང་པོའི་རི་བོང་ཆ་གཉིས་ཀྱིས་ཟླ་དང་པོར་རི་བོང་ཆ་གཅིག་རྒྱུད་སྤེལ་བྱེད་པའི་དབང་དུ་བཏང་ན། རི་བོང་གི་གྲངས་ཀ་ལྡབ་འགྱུར་གྱིས་འཕར་ཏེ། ཟླ་གཅིག་གི་ནང་དུ་ཆ་གཉིས་ཡོད། དེའི་འཕྲོར་ཆ་དང་པོ་དེས་ཟླ་གཉིས་པར་ཡང་ཆ་གཅིག་སྐྱེས་ཐུབ་པས་ཟླ་གཉིས་པར་ཆ་གསུམ་ཡོད། དེའི་རྗེས་ཀྱི་ཟླ་གཅིག་གི་ནང་དུ་ཆ་གཉིས་ལ་མངལ་སྦྲུམ། དེ་ན་ཟླ་གསུམ་པར་ཆ་གཉིས་སྐྱེས་པས་ཟླ་དེར་ཆ་ལྔ་ཡོད། དེའི་རྗེས་ཀྱི་ཟླ་དེར་ཆ་གསུམ་ལ་མངལ་སྦྲུམ། འདི་ལྟར་འཕེལ་ན། ཟླ་བཞི་པར་རི་བོང་གི་གྲངས་ཀ་ཆ་བརྒྱད་ཡོད། དེའི་འཕྲོར་རི་བོང་ཆ་ལྔ་ཡིས་རི་བོང་ཆུང་ཆུང་ཆ་ལྔ་སྐྱེས་ཤིང་། དེའི་ཁར་སྔོན་གྱི་ཆ་བརྒྱད་བསྣན་ན་ཟླ་ལྔ་པར་རི་བོང་ཆ13ཡོད། དུས་མཉམ་ཟླ་གཅིག་གི་ནང་དུ་སྐྱེས་པའི་ཆ་ལྔ་ཡིས་ཟླ་འདིར་མངལ་སྦྲུམ་མི་ཐུབ་ཀྱང་། འཕྲོ་མའི་ཆ་བརྒྱད་ལ་མངལ་སྦྲུམ་ཐུབ་པས། ཟླ6པར་རི་བོང་ཆ21ཡོད། དེའི་ཁར་ཟླ་བདུན་པར་སྐྱེས་པའི་ཆ13བསྣན་ན་ཟླ་དེར་ཆ34ཡོད། 55,89,144,233,377 ...མཇུག་མཐར་ཆ 377 ཡོད།”③འདིར་བཤད་པ་ནི་ཐོག་དང་པོའི་ཆ་དེ་ས་ཆ་ག་གེ་མོར་ལོ་གཅིག་གི་ཁྲོད་དུ་རྒྱུད་སྤེལ་བྱས་པའི་རི་བོང་གི་གཏད་གྲངས་ཡིན། རེའུ་མིག་སྤྱད་དེ་མཚོན་ན་གཤམ་གསལ་ལྟར།

ཐོག་མའི་གྲངས་ཀ་དང་གྲངས་ཀ་གཉིས་པ་གཉིས་ཟླ་སྒྲིལ་བྱས་པས། 1དང2། 2དང3། 3དང་4… …མཇུག་མཐར10དང11 ཟླ་བསྒྲིལ་བྱས། 133དང233སྟེ། འདི་ལྟར་བྱས་ན་གོང་ནས་བཤད་པ་ནང་བཞིན་རི་བོང་ཆ377ཐོབ་ཐུབ། བྱེད་ཐབས་སམ་དཔེ་བརྗོད་འདི་ལས། མུ་མེད་ཟླ་གྲངས་ཀྱི་རི་བོང་ཆ་གྲངས་ཐོབ་པ་རྟོགས་ཐུབ་པས། གྲངས་ཕྲེང1,2,3,5,8,..., ,...ཡི་མིང་ལ་ཧྥེ་པོ་ན་ཆིའི་གྲངས་ཕྲེང་ཞེས་འབོད་ཅིང་། དེར་གལ་ཆེ་བའི་རང་བཞིན་ལྡན་པ་ནི། ཐིག་གཤིས་རང་བཞིན་གྱི་ཚབ་རྩིས་ནང་བཀོལ་སྤྱོད་ཀྱི་ཁྱབ་རྒྱ་ཤིན་ཏུ་ཆེ་བ་ལས་མཚོན་ཐུབ།

གྲངས་རིག་མཁས་དབང་ལིའུ་ཧུའེ(刘徽)ཡི་རྩིས་གཞུང་ལེའུ་དགུ་མའི་མཆན་འགོད(九章算术注)ནང་ན་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་བརྩི་བའི་ཐད་ལ།

1. ཁྱབ་ཚན་སྤྱི་འགྲོས།

2.སྤྱིའི་ཁྱད།

3.ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གི་ཚན་པ་སྔ་མབརྩི་བའི་སྡོམ་གྱི་སྤྱི་འགྲོས།

ཡང་ན

དུས་རབས་ལྔ་པར་བྱུང་བའི་རང་རྒྱལ་གྱི་སུན་ཙི་རྩིས་གཞུང(孙子算经)ཁྲོད་ནའང་གྲངས་ཕྲེང་གི་གནད་དོན་གླེང་ཡོད་དེ།“དཔེར་ན། ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གི་ཚན་པ་སྔ་མགྱི་སྡོམདང་། ཚན་གྲངས། སྤྱི་ཁྱདབཅས་ཤེས་ཟིན་པའི་སྐབས། མགོ་ཚན་བརྩི་བའི་སྤྱི་འགྲོས་ནི།

འདི་ལྟར་ཡིན་ཞེས་དང་།“ད་དུང་རིམ་འགྲིབ་ཐབས་སྤྱད་དེ་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གིི་ཚན་པ་སྔ་མགྱི་སྡོམ་འགྲོལ་བའི་དྲི་གཞི་བཀོད་ཡོད་པ་དང་། སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གི་ཁྱབ་ཚན་འགྲོལ་བའི་བྱེད་ཐབས་ནི་འདི་ཡིན་ཞེས་བསྟན་ཡོད་པ་ལྟ་བུའོ། །”④ལྷོ་བྱང་རྒྱལ་རབས་དུས་ཀྱི་ཀྲང་ཆིའུ་ཅན(张邱健)གྱིས་སྔོན་རབས་པའི་རྨང་གཞིའི་སྟེང་གྲངས་ཕྲེང་གི་བརྗོད་གཞིའི་ཐད་ལ་སྔར་ལས་ལྷག་པའི་ཞིབ་འགྲེལ་བྱས་ཡོད། ཀྲང་ཆིའུ་ཅན་རྩིས་གཞུང(张邱健算经)ལས་གྲངས་ཕྲེང་སྤྱི་དང་། སྒོས་སུ་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གི་ཞིབ་འཇུག་ཀུན་གྱི་རྩེར་སོན་ཏེ། གྲངས་ཕྲེང་གི་གནད་དོན་ལྟོས་བཅོས་ཀྱིས་ཆ་ཚང་བའི་གཞུང་ལུགས་ཀྱི་མ་ལག་གྲུབ་ཡོད།“ཀྲང་ཆིའུ་ཅན་རྩིས་གཞུང”ཞེས་པ་ལས་བཏོན་པའི་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གི་སྤྱི་འགྲོས་གལ་ཆེན་རྣམས་གཤམ་གསལ་ལྟར་ཡིན།

1.ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གི་སྤྱི་ཁྱད་བརྩི་བའི་སྤྱི་འགྲོས།

2.ཚན་པ་སྔ་མགྱི་སྡོམ་བརྩི་བའི་སྤྱི་འགྲོས།

ཡང་ན

3.ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་ཁྲོད། གལ་ཏེ་མགོ་ཚནདང་། སྤྱི་ཁྱད། ཚན་གྲངསགྱིི་ཆ་སྙོམས་གྲངསབཅས་ཤེས་ཟིན་པ་ཡིན་ཚེ། ཚན་གྲངས་བརྩི་བའི་སྤྱི་འགྲོས་ནི་དང་། སྤྱི་ཁྱདཡིན་སྐབས། ཚན་གྲངསབརྩི་བའི་སྤྱི་འགྲོས་ནི་ཡིན་པ་བཅས་སོ། །”⑤དེ་ན་ཀྲོའུ་པེ་རྩིས་གཞུང(周髀算经)དང་། ཀྲང་ཆིའུ་ཅན་རྩིས་གཞུང་གིས་རང་རྒྱལ་གྱི་གྲངས་ཕྲེང་དང་། ལྷག་པར་དུ་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གཞུང་ལུགས་ཀྱི་མ་ལག་འཐུས་སྒོ་ཚང་བའི་ཐད་ལ་སྐུལ་འདེད་ཀྱི་ནུས་པ་ཆེན་པོ་ཐོན་ཏེ། ཕྱིས་ཀྱི་གོང་མཐོའི་ཁྱད་མཚུངས་རིམ་གྲངས་འགྲོལ་ཐབས་རྙེད་པ་ལ་རྨང་གཞི་བརྟན་པོ་བཏིངས། ཐང་རྒྱལ་རབས་དང་སུང་རྒྱལ་རབས་ཀྱི་དུས་སུ། གྲངས་རིག་མཁས་དབང་རྣམས་ཀྱིས་གྲངས་ཕྲེང་གི་གནད་དོན་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱས་ཏེ། གྲངས་ཕྲེང་གི་གནད་དོན་དེ་སྔར་གྱི་སྤྲོ་སྣང་རང་བཞིན་ལྡན་པ་ཙམ་ལས་བཀོལ་སྤྱོད་རང་བཞིན་ལྡན་པའི་ཕྱོགས་སུ་མཆོང་བརྒལ་བྱས་པ་སྟེ། དཔེར་ན། གནམ་རིག་སྐར་རྩིས་མཁས་དབང་སེང་དབྱི་ཞིན(僧一行)གྱི་གསུང་རྩོམ་ཏ་ཡན་ལིའི(大衍历)ནང་ན། རྒྱུ་སྐར་འཁོར་འགྲོས་བརྩི་བའི་བརྒྱུད་རིམ་ཁྲོད་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གི་སྡོམ་བརྩི་བའི་སྤྱི་འགྲོས་བཀོལ་སྤྱོད་བྱས་ཡོད་པ་ལྟ་བུའོ། ། དེའི་རྗེས་ཀྱི་ལོ་ངོ་བརྒྱ་ཕྲག་འགའི་ནང་དུ་ཕྱི་རབས་མཁས་དབང་རྣམས་ཀྱིས་གྲངས་ཕྲེང་གི་ཞིབ་འཇུག་དེ་ཡང་བསྐྱར་སྟེགས་བུ་གསར་པ་ཞིག་ཏུ་བཏོན་ཡོད་པ་སྟེ།“ དཔེར་ན། ཧྲེན་ཁོ(沈括)ཡིས་ཅུང་ཟད་གཏིང་ཟབ་པའི་སྒོ་ནས་ཁྱད་མཚུངས་རིམ་གྲངས་དང་། གོང་མཐོའི་ཁྱད་མཚུངས་རིམ་གྲངས་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱས་ཏེ། གྲུ་བཞི་སྟེགས་བུའི་བོངས་ཚད་བརྩི་སྐབས། གལ་ཏེ་གྲུ་བཞི་སྟེགས་བུ་ཞིག་ལ་བསྡོམས་པས་རིམ་པཡོད། གོང་ངོས་ཀྱི་སྲིདདང་། ཞེངཡིན། ཞབས་ངོས་ཀྱི་སྲིདདང་། ཞེངབཅས་ཡིན་པའི་དབང་དུ་བཏང་ན། དེའི་བོངས་ཚད་བརྩི་བའི་སྤྱི་འགྲོས་ནི་ཡིན་པ་དང་། གལ་ཏེ་ཡིན་སྐབས། ལྟར་འགྲེལ་དགོས་པའི་སྲུབས་བསགས་ཐབས་གསར་གཏོད་བྱས་པ་ལྟ་བུའོ། །”⑥སྤྱི་ལོ881 ལོའི་སྔོན་གྱི་སུང་ལྷོ་མའི་དུས་སུ། གྲངས་རིག་མཁས་པ་ཆིན་ཅིའུ་ཧྲའོ(秦九韶)དང་རྩིས་གཞུང་ལེའུ་དགུ་མའི་ཐེངས་གྲངས་ཁྲོད་ན། གྲངས་ཕྲེང་གི་གནད་དོན་ལ་ཕྱོགས་ཀུན་ནས་ཞིབ་འཇུག་བྱས་ཏེ། གྲངས་ཕྲེང་གི་ཞིབ་འཇུག་ཡང་བསྐྱར་རིམ་པ་གསར་པ་ཞིག་ལ་བསླེབས་པ་དང་། ཡོན་རྒྱལ་རབས་ཀྱི་སྐབས་སུ།“རང་རྒྱལ་གྱི་གྲངས་རིག་མཁས་དབང་དབྱང་ཧུའེ(杨辉) ལགས་ཀྱིས་དབྱང་ཧུའེ་ཟུར་གསུམ(杨辉三角)སྟེ། སྤྱི་འགྲོས་འདིའི་སྲོལ་བཏོད་པ་དང་།”⑦དེ་ནས་གྲངས་རིག་མཁས་དབང་ཀྲུའུ་ཧྲི་ཅེ(朱世杰) ཡིས་གྲངས་ཕྲེང་གི་སྡོམ་ཇི་ལྟར་འགྲོལ་བའི་གནད་དོན་ཐད་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱས་ཏེ། རྒྱུ་བཞིའི་བརྟག་ཐབས་སྐོར་ལ། ཀྲུའུ་ཧྲི་ཅེ་ཡིས་དབྱང་ཧུའེ་ཟུར་གསུམ་རྒྱ་བསྐྱེད་དེ་ཞིབ་འཇུག་བྱས་ཤིང་། དེར་རྙོག་འཛིང་ཆེ་ཞིང་སྣ་མང་བའི་སྤྱི་འགྲོས་བཏོན་པ་ནི། ཀྲུང་གོའི་གནའ་རབས་ཀྱི་གནད་དོན་འདིའི་སྐོར་ལ་ཞིབ་འཇུག་གི་དཔྱད་འབྲས་རྣམས་ཀྱི་ཡང་རྩེར་བསླེབས་ཡོད།

ཀྲུའུ་ཧྲི་ཅེ་ཡིས་བཏོན་པའི་གྲངས་ཕྲེང་གི་ཆོས་ཉིད་དེ་ནི། ཧྥེ་མ(费马)ལས་ལོ་ངོ་སུམ་བརྒྱ་ལྷག་གིས་སྔ་བ་དང་། དུས་རབས་བཅུ་བདུན་པར་དེའི་གསུང་རྩོམ་འཇའ་ཕན་དང་བྱང་ཁོ་རེ་ཡ་ལ་དར་ཁྱབ་བྱུང་ནས། ས་དེ་གའི་གྲངས་རིག་གཞུང་ལུགས་ཞིབ་འཇུག་གི་ཐད་ལ་ཤུགས་རྐྱེན་ཟབ་མོ་ཐེབས་ཡོད་ནའང་། ལོ་རྒྱུས་གཞིར་བྱས་གསལ་བར་བརྗོད་ན། ཀྲུའུ་ཧྲི་ཅེའི་རྗེས་སུ། རང་རྒྱལ་གྲངས་ཕྲེང་ཕྱོགས་ཀྱི་ཞིབ་འཇུག་དེ་འཕེལ་མེད་སོར་གནས་ཀྱི་རྣམ་པར་གནས་ཡོད། མིང་རྒྱལ་རབས་ཀྱི་དུས་མཇུག་ནས་བརྩམས་ཏེ། གྲངས་ཕྲེང་གི་འཕེལ་རྒྱས་ཡུན་གྱིས་གོང་མཐོའི་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་འགྲོལ་བའི་ཕྱོགས་ལ་བར་བརྒལ་བྱས།

དུས་རབས་བཅོ་བརྒྱད་པར། ལིས་ཧྲན་ལན(李善兰)དང་། ཏུང་ཡིའུ་ཁྲེང(董佑诚)བཅས་ལ་གྲངས་ཕྲེང་ཞིབ་འཇུག་གི་གནད་དོན་སྐོར་ལ་ལྟ་བ་གསར་བ་འགའ་རེ་བྱུང་ཡོད་པའི་དབང་གིས། གྲངས་ཕྲེང་གི་རིག་པའི་གཞུང་ལུགས་ཉིན་བཞིན་འཐུས་སྒོ་ཚང་བའི་ཕྱོགས་ལ་སྐྱོད་ཅིང་། གྲངས་རིག་ཁྲོད་ཀྱི་གྲངས་ཕྲེང་གི་གོ་གནས་གཏན་ཁེལ་བྱས་པས། ད་ལྟ་གྲངས་ཕྲེང་ནི་གྲངས་རིག་སློབ་སྦྱོང་ཁྲོད་ཀྱི་གལ་ཆེ་བའི་གྲུབ་ཆ་ཞིག་ཏུ་གྱུར་ཡོད་པ་འདིའོ། །

གཉིས་པ། གྲངས་ཕྲེང་གི་དབྱེ་བ།

ཀ གྲངས་ཕྲེང་ཚན་གྲངས་ལྟར་དབྱེ་བ།

ཚན་གྲངས་ཚད་ཡོད་པའི་གྲངས་ཕྲེང་ལ་ཚད་ཡོད་གྲངས་དང་། ཚན་གྲངས་ཚད་མེད་པའི་གྲངས་ལ་ཚད་མེད་གྲངས་ཟེར། ཚད་ཡོད་གྲངས་ཕྲེང་ནི། དཔེར་ན། 1，3，5，7，9.དང་། ཚད་མེད་གྲངས་ཕྲེང་ནི། 1，3，5，7，9… …ལྟ་བུའོ། །

གྲངས་ཕྲེང་དེ་ཉིད་ཉེ་བའི་ཚན་པ་གཉིས་ཀྱི་གྲངས་ཀའི་ཆེ་ཆུང་ལྟར་དབྱེ་ན། རིམ་འཕེལ་གྲངས་ཕྲེང་དང་རིམ་འགྲིབ་གྲངས་ཕྲེང་། གཡོ་འགུལ་གྲངས་ཕྲེང་། རྒྱུན་གྲངས་གྲངས་ཕྲེང་བཅས་ཡོད་པས། རིམ་འཕེལ་གྲངས་ཕྲེང་དཔེར་ན། 1,2,3,4,… …ལྟ་བུ་དང་། རིམ་འགྲིབ་གྲངས་ཕྲེང་དཔེར་ན། -1,-2,-3,… … ལྟ་བུ་དང། གཡོ་འགུལ་གྲངས་ཕྲེང་དཔེར་ན། 1,0,1,0,… … ལྟ་བུ་དང། རྒྱུན་གྲངས་གྲངས་ཕྲེང་དཔེར་ན། 7,7,7,7,… … ལྟ་བུའོ། །

ཁ། ཁྱད་པར་ཅན་གྱི་གྲངས་ཕྲེང་གཉིས།

༡ ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་།

(1)མཚན་ཉིད། གལ་ཏེ་གྲངས་ཕྲེང་ཞིག་གི་ཚན་པ་གཉིས་པ་ནས་མགོ་བཟུང་སྟེ། ཚན་པ་རེ་རེ་དང་དེའི་སྔོན་གྱི་ཚན་པའི་བར་གྱི་ཁྱད་ནི་རྒྱུན་གྲངས་ཤིག་དང་མཚུངས་པ་ཡིན་ན། གྲངས་ཕྲེང་དེ་ལ་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཟེར། གྲངས་རིག་གི་སྐད་བརྡའི་རྣམ་པའི་བྲིས་ན། འདི་ལྟར་ཡིན།

(2)ཁྱབ་ཚན་སྤྱི་འགྲོས།

(3)ཚན་པ་སྔ་མགྱི་སྡོམ།

(4)དཀྱིལ་མཚན། གལ་ཏེབཅས་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གྲུབ་པའི་དབང་དུ་བཏང་ན། དེ་ལདངཡི་ཁྱད་མཚུངས་དཀྱིལ་མཚན་ཟེར། གྲངས་རིག་གི་སྐད་བརྡའི་རྣམ་པའི་བྲིས་ན། འདི་ལྟར་ཡིན།

(5) རང་བཞིན།

གལ་ཏེ་ཡིན་ན། ཐོབ། སྐབས་སུ། ནི་རིམ་འཕེལ་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན་པ་དང་།སྐབས་སུ།ནི་རིམ་འགྲིབ་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན།སྐབས་སུ།ནི་རྒྱུན་གྲངས་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན།

ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གཉིས་ཀྱི་སྡོམ་ནི་སྔར་བཞིན་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་དུ་གྲུབ། ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང དངཡི་སྤྱི་ཁྱད་ནིདངཡིན་ཚེ། ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེངནི་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན་པ་དང་། དེའི་སྤྱི་ཁྱད་ནི་ཡིན། ནི་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན་ལ། གལ་ཏེབཅས་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གྲུབ་ན།བཅས་ཀྱང་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་དུ་འགྲུབ་ཐུབ། གལ་ཏེ་གྲུབ་ན།  བསྒྲུབ་ཐུབ། ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གྲུབ་པ་དང་། སྤྱི་ཁྱད་ནིཡིན། ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རྒྱུན་གྲངས་ནི་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན།

༢ སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་།

(1)མཚན་ཉིད། གལ་ཏེ་གྲངས་ཕྲེང་ཞིག་གི་ཚན་པ་གཉིས་པ་ནས་མགོ་བཟུང་སྟེ། ཚན་པ་རེ་རེ་དང་དེའི་སྔོན་གྱི་ཚན་པའི་བར་གྱི་སྡུར་ནི་རྒྱུན་གྲངས་ཤིག་དང་མཚུངས་པ་ཡིན་ན། གྲངས་ཕྲེང་དེ་ལ་སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཟེར། གྲངས་རིག་གི་སྐད་བརྡའི་རྣམ་པས་བྲིས་ན། འདི་ལྟར་ཡིན།

(2) ཁྱབ་ཚན་སྤྱི་འགྲོས།

(3) ཚན་པ་སྔ་མགྱི་སྡོམ།

(4)དཀྱིལ་མཚན། གལ་ཏེབཅས་སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གྲུབ་པའི་དབང་དུ་བྱས་ན།དེ་ལདངཡི་སྡུར་མཚུངས་དཀྱིལ་མཚན་ཟེར། གྲངས་རིག་གི་སྐད་བརྡའི་རྣམ་པའི་བྲིས་ན། འདི་ལྟར་ཡིན།

(6)རང་བཞིན།

གལ་ཏེ་ཡིན་ན། ཐོབ། ཡང་ནསྐབས་སུ།ནི་རིམ་འཕེལ་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན་པ་དང་། ཡང་ནསྐབས་སུ། ནི་རིམ་འགྲིབ་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན།སྐབས་སུ།ནི་རྒྱུན་གྲངས་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན། སྐབས་སུ།ནི་གཡོ་འགུལ་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན།

སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གཉིས་ཀྱི་སྡོམ་ནི་སྔར་བཞིན་སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་དུ་གྲུབ། སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེངདངཡི་སྤྱི་སྡུར་ནིདངཡིན་ཚེ། སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེངནི་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན་པ་དང་། དེའི་སྤྱི་སྡུར་ནི་ཡིན། ནི་སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན། གལ་ཏེ་བཅས་སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གྲུབ་ན།བཅས་ཀྱང་སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་དུ་འགྲུབ་ཐུབ། སྐབས་སུ། སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་གྲུབ། སྤྱི་སྡུར་ནི་ཡིན། ཀླད་ཀོར་མིན་པའི་རྒྱུན་གྲངས་ནི་སྡུར་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་ཡིན།

གསུམ་པ། བོད་ཀྱི་སྲོལ་རྒྱུན་རིག་གནས་ཁྲོད་ཀྱི་གྲངས་ཕྲེང་དང་དེའི་བཀོལ་སྤྱོད།

ལོ་རྒྱུས་ཀྱི་དུས་ཡུན་ཧ་ཅང་རིང་བའི་བོད་ཀྱི་རིག་གནས་ནི། འུ་ཅག་མེས་པོ་གོང་མ་རྣམས་ཀྱིས་ཐོན་སྐྱེད་ངལ་རྩོལ་དང་། འཚོ་བ་དངོས་ཀྱི་ཉམས་མྱོང་ཁྲོད་དུ་རིམ་བཞིན་བསགས་པའི་རིག་གནས་ཁྱད་པར་བ་ཞིག་ཡིན་པར་མ་ཟད། འཛམ་གླིང་རིག་གནས་ཀྱི་བང་མཛོད་ཁྲོད་ནའང་འོད་དུ་འཚེར་བའི་མུ་ཏིག་གི་རྡོག་པོ་ལྟ་བུར་གྱུར་ཡོད། རྒྱ་མཚོ་ལྟ་བུའི་རིག་གནས་འདིའི་ཁྲོད་ན་གྲངས་ཀྱི་རིག་པ་ག་ས་གར་ཁྱབ་ཡོད་པ་ལས། བོད་རིགས་སློབ་མའི་གྲངས་རིག་པ་སྦྱང་བའི་འདུ་ཤེས་སྐྱེད་སྲིང་བྱ་བའི་ཆེད་དུ། འདིར་བོད་ཀྱི་སྲོལ་རྒྱུན་རིག་གནས་ཁྲོད་ཀྱི་ཆོས་རྩིག་ཅེས་པ་དམིགས་སུ་བཟུང་སྟེ། དེའི་ཁྲོད་ཀྱི་གྲངས་རིག་གི་བསམ་བློ་གླེང་ཡོད།

ཀ བོད་ཀྱི་སྲོལ་རྒྱུན་རིག་གནས་ཁྲོད་ཀྱི་ཆོས་རྩིག།

(པར་རིས་དང་པོ)

གོང་གསལ་པར་རིས་ལྟ་བུ། འདུ་ཁང་སོགས་ཀྱི་སྒོ་ཆེན་གཡས་གཡོན་དུ། ཀོང་འབུར་དུ་བརྐོས་པའི་གྲུ་བཞི་ལྷམ་པ་མང་པོ་བརྩེགས་པའི་རྣམ་པ་ཅན་ལའང་ཆོས་རྩིག་ཟེར། ཆོས་རྩིག་ནི། པར་རིས་འདི་ཙམ་དུ་མ་ཟད་པར། ལྷ་ཁང་དང་ཕོ་བྲང་། ཚོམས་ཆེན་སོགས་ཀྱི་རྩིག་ལྡེབས་ངོས་ན་ཕྲེང་བ་ལྟར་སྤེལ་བའི་ལྡེབས་རིས་དང་། གནའ་རབས་རྩིག་བཟོའི་བྱ་འདབས་དང་། རྩིག་ཁུག་དང་རྩིག་གདོང་། མཆོད་ཁྲིའི་འགྲམ་སོགས་སུ་ཀོང་འབུར་དུ་བརྐོས་ཤིང་སྟར་དུ་བསྒྲིགས་ཡོད་པ་རྣམས་ལའང་གྲངས་ཕྲེང་ཟེར།

ཁ ཆོས་རྩིག་གི་འབྱུང་ཁུངས།

ཆོས་རྩིག་གི་རྣམ་པའི་ཆ་ནས་བཤད་ན། ཀོང་འབུར་དུ་བརྐོས་པའི་གྲུ་བཞི་ལྷམ་པ་མང་པོ་བརྩེགས་པའི་རྣམ་པ་ཅན་ཡིན་ལ། དེ་ཉིད་བཀའ་བསྟན་གྱི་ཆོས་དཔེ་བརྩིགས་པའི་རྣམ་པ་དང་ཡང་མཚུངས། ཆོས་རྩིག་གིས་བཀའ་བསྟན་གཉིས་མཚོན་པས། ཆོས་རྩིག་གི་གཟུགས་དེའང་ལྷ་ཁང་གི་རྩིག་ལྡེབས་དང་། འདུ་ཁང་གི་སྒོ་འགྲམ་དུ་མངོན་པ་ནི་རྒྱུ་མཚན་འབྲེལ་པ་ཅན་དུ་ཤེས་པར་བྱའོ། ། མཆོད་ཁྲིའི་འགྲམ་གྱི་ཆོས་རྩིག་གི་རྒྱལ་སྲིད་སྣ་བདུན་མཚོན་ཕྱིར། དེ་ལ་མཆོད་འབུལ་གྱི་མཚོན་དོན་ཡོད་པ་དང་། འདུ་ཁང་གི་བྱ་འདབ་འོག་གི་ཆོས་རྩིག་དེ་ལ་རིན་ཆེན་བང་རིམ་བདུན་ཟེར་བའང་། གནས་དེ་ལ་རིན་པོ་ཆེ་གྱ་ནོམ་པ་ལྡན་པར་འགྱུར་བ་སོགས་རྟེན་འབྲེལ་གྱི་དན་རྟགས་སུ་མངོན་ནོ། ། སྤྱིར་འདུ་ཁང་ནང་གི་ཆོས་རྩིག་དེ་གདུབ་དབྱིབས་ཀྱི་སྣོད་ཆོས་སུ་མངོན་པ་དེས་བུད་མེད་ཀྱི་སྐྱེ་འཕེལ་ནུས་པ་མཚོན་ནའང་། དོན་དུ་དགེ་འདུན་པའི་སྡེ་འཕེལ་བའི་རྟེན་འབྲེལ་ཡིན་པར་བཤད།

དུས་ཀྱི་སྔ་རྗེས་ལྟར་ན། སྔོན་དུ་ལྷ་ཁང་དང་རྗེས་སུ་ཆོས་རྩིག་བྱུང་བར་འདོད་དེ། བོད་རྒྱལ་སྲོང་བཙན་གྱི་དུས་སུ་རྒྱ་བཟའ་འུན་ཤིང་ཀོང་ཇོ་དང་། བལ་བཟའ་ཁྲི་བཙུན་གཉིས་ཀྱིས་ཇོ་ཤཱཀ་རྣམ་གཉིས་བཞུགས་པའི་ལྷ་སའི་གཙུག་ལག་ཁང་དང་། རྒྱ་སྟག་ར་མོ་ཆེ་གཉིས་དང་། མཐའ་འདུལ་ཡང་འདུལ་གྱི་གཙུག་ལག་ཁང་མང་པོ་བཞེངས་སྐྲུན་མཛད་པར་བཤད། བོད་དུ་རབ་བྱུང་བའི་སྡེ་ཡོད་པའི་གཙུག་ལག་ཁང་ཐོག་མ་ནི། ཁྲི་སྲོང་ལྡེ་བཙན་སྐབས་སུ་བཞེངས་པའི་བསམ་ཡས་གཙུག་ལག་ཁང་ཡིན་ལ། དེ་ལ་བོད་དང་རྒྱ་དཀར་ནག་གསུམ་པོའི་བཟོ་བཀོད་ཀྱི་ཁྱད་ཆོས་ལྡན་ནོ། ། དེས་ན། བོད་དུ་དགོན་པའི་འཛུགས་སྐྲུན་དར་ཁྱབ་སོང་བའི་གོ་རིམ་ཁྲོད་ནས་ཆོས་རྩིག་བྱུང་བ་ཡིན་ཞེས་བརྗོད་ཆོག་པར་འདོད་དོ། །

ག ཆོས་རྩིག་གི་ལོ་རྒྱུས་འཕེལ་རིམ།

བསྟན་པ་ཕྱི་དར་གྱི་སྐབས་ཏེ། དུས་རབས་བཅུ་པ་ནས་བཟུང་། མངའ་རིས་དང་དབུས་གཙང་ས་ཆར་ དགོན་སྡེ་མང་པོ་བཞེངས་པའི་ཁྲོད་དུ། མངའ་རིས་ཀྱི་མཐོ་ལྡིང་དགོན་དང་། དབུས་གཙང་གི་ཞྭ་ལུ་དགོན་དང་། རྭ་སྒྲེང་དགོན། ས་སྐྱ་དགོན་སོགས་ཀྱི་སྐུ་གསུང་ཐུགས་རྟེན་ནི་བོད་རིག་པའི་ཉིང་བཅུད་ཡིན་པ་སྨོས་མེད་ཐོག དགོན་པ་དེ་དག་གི་བཟོ་བཀོད་ཀྱི་རྣམ་པ་དང་། ཚོན་མདོག་གི་དབྱེ་བ་དང་། ལྡེབས་རིས་ཆོས་རྩིག་ལ་སོགས་པ་ནི། ས་དེའི་མི་རྣམས་ཀྱི་བློ་གྲོས་ཀྱི་རྩལ་ལས་ཐོན་པ་ཤ་སྟག་ཡིན་ལ། རང་རིགས་སྒྱུ་རྩལ་བང་མཛོད་ཀྱི་ནོར་བུ་ལྟ་བུའང་ཡིན། རྩིག་བཟོའི་སྒྱུ་རྩལ་དེ་དག་རིམ་བཞིན་བོད་ཁུལ་ཡོངས་ལ་དར་བར་འདོད་དོ། །ཨ་མདོ་ས་ཁུལ་དུའང་གནའ་བོའི་དགོན་པ་འགའ་རེ་ཡོད་མོད། དགོན་སྡེ་འཛུགས་སྐྲུན་གྱི་ཚ་རླབས་ནི་དགེ་ལུགས་པའི་དུས་སུ་བྱུང་བ་ཡིན། མདོར་ན། དགོན་པའི་འཛུགས་སྐྲུན་གྱི་དབྱར་མཚོ་ཇི་ཙམ་རྒྱས་ན་ཆོས་རྩིག་ལ་སོགས་སྒྱུ་རྩལ་གྱི་གྲུ་གཟིངས་ཀྱང་དེ་ཙམ་ཇེ་མཐོར་འགྲོ་བཞིན་ཡོད་དོ། །

ང་། དགོན་པ་འདུ་ཁང་སྒོ་འགྲམ་གྱི་ཆོས་རྩིག།

དགོན་པའི་འདུ་ཁང་སྒོ་འགྲམ་དུ་ཆོས་རྩིག་བྱུང་བའི་སྐོར་ལ་བློ་ཞིབ་མོས་དཔྱད་ན། འདུ་ཁང་གི་བཀའ་འགྱུར་དང་བསྟན་འགྱུར་ལ་མཇལ་བའམ་བཀླག་པར་བྱ་བ་ལ། སྒོ་མེད་ན་འདུ་ཁང་དུ་འགྲོ་མི་ཐུབ་པ་དང་མཚུངས་པར། བློ་རིག་མེད་ན་རིག་པའི་གནས་གང་དུའང་འཇུག་མི་ཐུབ་པས། བློ་དང་རིག་པ་མཚོན་པའི་ཆོས་རྩིག་དེའང་འདུ་ཁང་གི་སྒོ་འགྲམ་དུ་བཀོད་པར་འདོད། དེ་ཡང་བསྟན་པ་ཕྱི་དར་གྱི་སྐབས་སུ། བོད་ཀྱི་སངས་རྒྱས་ཆོས་ལུགས་དར་སྤེལ་གྱི་ཁྲོད་དུ། མི་དག་པའམ་ལོག་པ་སོགས་ཀྱི་ལྷད་སྐྱོན་མང་པོ་བྱུང་བས། རྒྱ་གར་ནས་ཇོ་བོ་རྗེ་དཔལ་ལྡན་ཨ་ཏི་ཤ་བོད་དུ་གདན་དྲངས་ཏེ་དག་ཐེར་མཛད། དགོན་སྡེའི་ནང་ལ་མི་དག་པའམ་ལོག་པའི་ཆོས་མི་འབྱུང་བའི་ཆེད་དུ་འདུ་ཁང་སྒོ་འགྲམ་དུ་བློ་རིག་མཚོན་བྱེད་ཀྱི་ཆོས་རྩིག་བཀོད། བོད་མིའི་ཁ་དཔེར། བོད་རྟེན་འབྲེལ་གྱི་བདག་པོ་ཟེར་བ་ལྟར། ཆོས་རྩིག་དེ་རྣམས་རྟགས་དང་རྟེན་འབྲེལ་མཚོན་བྱེད་ཡིན་ཞེས་བརྗོད་ནའང་ཆོག་སྙམ་མོ། །

ཅ། ཆོས་རྩིག་དང་འབྲེལ་པའི་གྲངས་ཕྲེང་གི་བསམ་བློ།

གོང་གསལ་གྱི་རི་མོ་འདི་ནི་འདུ་ཁང་གྱང་ངོས་སུ་བཀོད་པའི་ཆོས་རྩིག་ཡིན་ལ། དེར་གྲངས་ཕྲེང་གི་ཤེས་བྱ་སྤྱད་དེ་ལྟ་ཞིབ་བྱས་ན་ཆོས་རྩིག་གི་རིག་གནས་ཁྲོད་དུ་གྲངས་ཕྲེང་གི་བསམ་བློ་འདུས་ཡོད་པ་དང་མཐོ་རིམ་ཁྱད་མཚུངས་གྲངས་ཕྲེང་ཞིག་གྲུབ་ཡོད། དེ་ནི1,4,9,16……ཡང་ན1,3,5,7,…ཡིན།

མཇུག་སྡུད་པ།

བོད་ཀྱི་ཆོས་རྩིག་ལ་མཚོན་དོན་དང་འགྲེལ་ཚུལ་ཤིན་ཏུ་མང་ལ། དེས་བོད་མིའི་ཆོས་ལུགས་ཀྱི་བསམ་བློ་དང་མཛེས་འཛིན་འདུ་ཤེས་མཚོན་ཡོད། གྲངས་རིག་གི་ཐད་ནས་བལྟས་ན། དེ་ལ་གྲངས་རིག་གི་སྤྱི་འགྲོས་ངེས་ཅན་ཞིག་དང་སྒྱུ་རྩལ་གྱི་རྣམ་པ་ཁྱད་པར་བ་ཞིག་ལྡན་ཡོད། མི་རིགས་སོ་སོའི་སྲོལ་རྒྱུན་རིག་གནས་ནི། སོ་སོའི་མེས་པོ་གོང་མ་དག་གི་བློ་གྲོས་ཀྱི་རྩལ་དང་འཚོ་བའི་ཉམས་མྱོང་ལས་བྱུང་བ་ཤ་སྟག་ཡིན་ལ། དེང་རབས་འཚོ་བ་དང་ལོ་རྒྱུས་རིག་གནས་ཀྱི་འབྲེལ་མཐུད་ས་ཚིགས་ལྟ་བུ་ཡིན་ནའང་། དེང་རབས་ཀྱི་འཚོ་བའི་ཁྲོད་དུ་ཕ་མེས་ཤུལ་བཞག་སྟེ། ནམ་རྒྱུན་འཚོ་བའི་ཁྲོད་མཐོང་སྣང་དུ་གྱུར་པའི་སྒྱུ་རྩལ་བརྩམས་ཆོས་དང། དངོས་དཔང་མང་པོ་ཞིག་ཉམས་དམས་སུ་འགྲོ་བཞིན་ཡོད་པ་རེད། ལྷག་པར་རང་རེའི་བོད་ཀྱི་ཅ་དངོས་དང་། འཛུགས་སྐྲུན་སྐབས་ཀྱི་གྲངས་རིག་གི་སྤྱི་འགྲོས་དང་། གཞུང་ལུགས་མི་ཉུང་བ་སྣང་མེད་རྒྱ་ཡན་དུ་བསྐྱུར་བའི་ཚུལ་འདི་མཐོང་ན་ཡ་ང་ཞིང་ཡི་མུག་གོ ། བདག་གིས་དེང་རབས་ཀྱི་གྲངས་རིག་ཤེས་བྱའི་གཞུང་ལུགས་སྤྱད་དེ་མེས་པོའི་ཤུལ་བཞག་རིག་གནས་ལ་ཞིབ་འཇུག་བྱེད་ན། སོ་སོའི་རིན་ཐང་དང་གལ་ཆེའི་རང་བཞིན་ལ་སོགས་ཇེ་གསལ་དུ་འགྲོ་བའི་ཀུན་ནས་བསླངས་ཏེ། བོད་ཀྱི་ཆོས་རྩིག་དང་དེའི་གྲངས་རིག་བསམ་བློའི་རང་བཞིན་རགས་ཙམ་ངོ་སྤྲོད་བྱས་པ་ཡིན་ནོ། །

[注:甘肃省自然科学基金资助项目（NO.145RJZA158)]

* ལྕགས་མོ་སྒྲོལ་མ། ནུབ་བྱང་མི་རིགས་སློབ་ཆེན་གྲངས་རིག་དང་རྩིས་འཁོར་ཚན་རིག་སློབ་གླིང་གི2017ལོའི་རབ་འབྱམས་ཞིབ་འཇུག་སློབ་མ་ཡིན།

* རི་མོ་སྐྱིད། ནུབ་བྱང་མི་རིགས་སློབ་ཆེན་གྲངས་རིག་དང་རྩིས་འཁོར་ཚན་རིག་སློབ་གླིང་གི2018ལོའི་རབ་འབྱམས་ཞིབ་འཇུག་སློབ་མ་ཡིན།

① 格日吉 藏族传统文化中的数学思想方法和应用 [M] 民族出版社 2014:123

② [美]M.克莱因 古今数学思想[M] 上海科学技术出版社 P247

③ 余维 高中数学教学中渗透数学文化的案例研究[J]重庆师范大学 2014:28

④ 刘超 数学史与数学教育整合的问题研究[D] 曲阜师范大学 2017:37

⑤ 崔洁 与高中数列相关的中国古算史料研究[D] 西北大学 2015:43

⑥ 石海英 高中数列教学研究[J] 内蒙古师范大学 2017:21

⑦ 沈建梅 高中数列教与学的时间与研究[D] 扬州大学 2013:34